1473. 粉刷房子 III

粉刷房子 III

在一个小城市里，有 m 个房子排成一排，你需要给每个房子涂上 n 种颜色之一（颜色编号为 1 到 n ）。有的房子去年夏天已经涂过颜色了，所以这些房子不需要被重新涂色。

我们将连续相同颜色尽可能多的房子称为一个街区。（比方说 houses = [1,2,2,3,3,2,1,1] ，它包含 5 个街区  [{1}, {2,2}, {3,3}, {2}, {1,1}] 。）

给你一个数组 houses ，一个 m * n 的矩阵 cost 和一个整数 target ，其中：

• houses[i]：是第 i 个房子的颜色，0 表示这个房子还没有被涂色。
• cost[i][j]：是将第 i 个房子涂成颜色 j+1 的花费。

请你返回房子涂色方案的最小总花费，使得每个房子都被涂色后，恰好组成 target 个街区。如果没有可用的涂色方案，请返回 -1 。

示例 1：

输入：houses = [0,0,0,0,0], cost = [[1,10],[10,1],[10,1],[1,10],[5,1]], m = 5, n = 2, target = 3
输出：9
解释：房子涂色方案为 [1,2,2,1,1]
此方案包含 target = 3 个街区，分别是 [{1}, {2,2}, {1,1}]。
涂色的总花费为 (1 + 1 + 1 + 1 + 5) = 9。

示例 2：

输入：houses = [0,2,1,2,0], cost = [[1,10],[10,1],[10,1],[1,10],[5,1]], m = 5, n = 2, target = 3
输出：11
解释：有的房子已经被涂色了，在此基础上涂色方案为 [2,2,1,2,2]
此方案包含 target = 3 个街区，分别是 [{2,2}, {1}, {2,2}]。
给第一个和最后一个房子涂色的花费为 (10 + 1) = 11。

示例 3：

输入：houses = [0,0,0,0,0], cost = [[1,10],[10,1],[1,10],[10,1],[1,10]], m = 5, n = 2, target = 5
输出：5

示例 4：

输入：houses = [3,1,2,3], cost = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]], m = 4, n = 3, target = 3
输出：-1
解释：房子已经被涂色并组成了 4 个街区，分别是 [{3},{1},{2},{3}] ，无法形成 target = 3 个街区。

提示：

• m == houses.length == cost.length
• n == cost[i].length
• 1 <= m <= 100
• 1 <= n <= 20
• 1 <= target <= m
• 0 <= houses[i] <= n
• 1 <= cost[i][j] <= 10^4

分析

• 将房区初始颜色编码从0开始计算，-1表示未涂颜色。
• 记dp[i][j][k]为第i个房子涂成颜色j的花费，它属于第k个街区
• 我们讨论第i个房子花费：若i!=0，设第i-1个房子颜色为j0
  • 对于houses[i] = -1，即房子未涂颜色。分为两种情况：
    • j = j0：颜色和i-1一致，i和i-1属于同一街区，得如下转移方程：
      $$
      dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] + const[i][j]
      $$
    • j != j0：颜色变化，i和i-1不属于同一街区，得如下转移方程：
      $$
      dp[i][j][k] = dp[i-1][j0][k-1] + const[i][j]
      $$
  • 对于houses[i] != -1，即房子有初始颜色j，这种情况必须将房子涂成颜色j。同样分为两种情况：
    • j = j0：颜色和i-1一致，i和i-1属于同一街区，这时不需要额外为i涂色。得如下转移方程：
      $$
      dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]
      $$
    • j != j0：颜色变化，i和i-1不属于同一街区，这时不需要额外为i涂色，得如下转移方程：
      $$
      dp[i][j][k] = dp[i-1][j0][k-1]
      $$
• 若i = 0，由于第一个房子，所以k = 0，花费不由上一个房子转移得到。，分为两种情况：
  • houses[i] = -1，即房子未涂颜色，花费：const[i][j]
  • houses[i] != -1，即房子有初始颜色j，j = j0，花费：0

转化为代码：

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public class Solution1473 {

    private static final int INFTY = Integer.MAX_VALUE / 2;

    public int minCost(int[] houses, int[][] cost, int m, int n, int target) {
        for (int i = 0; i < houses.length; i++) {
            houses[i]--;
        }

        int[][][] dp = new int[m][n][target];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                Arrays.fill(dp[i][j], INFTY);
            }
        }

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (houses[i] != -1 && houses[i] != j) {
                    continue;
                }
                for (int k = 0; k < target; k++) {
                    for (int j0 = 0; j0 < n; j0++) {
                        if (j == j0) {
                            if (i == 0) {
                                if (k == 0) {
                                    // 第一个房子初始为0
                                    dp[i][j][k] = 0;
                                }
                            } else {
                                dp[i][j][k] = Math.min(dp[i][j][k], dp[i - 1][j][k]);
                            }
                        } else if (i > 0 && k > 0) {
                            // 非第一个房子
                            dp[i][j][k] = Math.min(dp[i][j][k], dp[i - 1][j0][k - 1]);
                        }

                    }
                    if (houses[i] == -1) {
                        // 第一个房子或者变更房区--未涂颜色
                        dp[i][j][k] += cost[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        int ans = INFTY;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans = Math.min(ans, dp[m - 1][i][target - 1]);
        }
        return ans == INFTY ? -1 : ans;
    }
}